选举的悖论
*本文是一篇理论密集的文章。得出的结论与政体无关，与意识形态无关。
在人类社会的任何一个角落，询问任何一个人：“是什么捍卫了你的民主权利？”大部分人给出的答案都会是：“是我的投票权。”从美国的总统大选，到我国的人民代表大会制度，选举是一个公民表达好恶，参与政治的最简单的，也是最有效的途径——然而，选举的公平性究竟是如何保证的？选举，究其原理，是否能真正地捍卫民主制度？本文将会探究选举的科学，即所谓的投票理论（Voting theory）。
在现有的大多数制度中，选民只需投票给一个候选人，选举结果也只产生一个优胜者；但我们在本文中讨论的选举制度，应该要更加精致一些。我们希望，每个选民都能给出完整的偏好顺序，将所有的候选人排序；这样，所包含的信息会更加丰富。选举的目的，便是要汇总所有的个人偏好，并在此基础上得出一个能代表大多数人意见的社会偏好。比如，一次选举有五个候选人，选票情况可能如下：
| 票数 | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 18 | 1 | 5 | 4 | 2 | 3 |
| 10 | 5 | 2 | 1 | 4 | 3 |
| 4 | 5 | 2 | 4 | 3 | 1 |
| 12 | 5 | 1 | 4 | 3 | 2 |
| 9 | 5 | 4 | 2 | 1 | 3 |
| 2 | 5 | 4 | 2 | 3 | 1 |
这就表示，有 18 人给出的偏好顺序为 A>D>E>C>B（把 A 排在第一，D 排在第二，E 第三……），有 10 人认为 C>B>E>D>A，等等。我们将要根据以上信息，选出一个最能被社会整体接受的候选人。现在，我们评价一下几种现有的选举制度。在讨论过程中，我们会不断提出一些标准——我们希望选举能够选出什么样的候选人。如果一种选举制度从原理上无法选出这样的候选人，那它就是不合理的。
简单多数法（Simple plurality）
最符合直觉的投票模式，就是如果把 X 排在第一的选民数多于把其他任何一个候选人排在第一的选民数，那么 X 应当赢得选举——和剩下的排序没有关系。这叫做简单多数原则，也基本是大多数简单的选举采用的制度——一人一票，多者获胜。
在上表中，如果只计选票排在第一位的情况，那么 A 获得 18 票，B12 票，C10 票，D9 票，E6 票，因此 A 会当选。
这种方法非常容易操作，它也符合我们提出的第一条准则——大多数准则（Majority criterion）：
大多数准则（Majority criterion）在一次选举中，如果超过半数的选民认为一个候选人应该当选（把他排在第一位），那么他应该当选。 :::
对于这条准则，应该没有人会有异议。在简单多数制度中，当超过半数选民把一个候选人排在第一位时，这个候选人也自动成为了多数，自然能够当选，因此它能够符合大多数准则。但是，当没有人获得超过半数选票时（这种情况在候选人超过两人时还是非常容易出现的），就会出现问题。尤其是在出现极端候选人的情况下——许多人非常追捧，但更多的选民非常鄙视——简单多数制度就会选出这一极端候选人。本例中的 A 便属于这一情况——他只获得了 1 和 5 两种排序。但大多数情况下，我们会希望要一个更合理，更多数人能接受的结果，而不是像懂王这样极端化的结果。
因此，我们想要做得更好。在给出了完整的选民偏好排序的情况下，改进方案并不难想到：希望你也想到的是这个——波达计数法。
波达计数法（Borda count）
波达计数法的想法非常直接，给每个候选人打分：每个选票上，最后一名 1 分，倒数第二 2 分，以此类推，第一名能拿到 n 分，n 为候选人总人数。最后分数相加，取分数最高的候选人。在上述例子中：
| 票数 | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 18 | 1 | 5 | 4 | 2 | 3 |
| 10 | 5 | 2 | 1 | 4 | 3 |
| 4 | 5 | 2 | 4 | 3 | 1 |
| 12 | 5 | 1 | 4 | 3 | 2 |
| 9 | 5 | 4 | 2 | 1 | 3 |
| 2 | 5 | 4 | 2 | 3 | 1 |
五人的得分分别为：
- A: 18×5 + 37×1 = 127
- B: 12×5 + 14×4 + 11×2 + 18×1 = 156
- C: 10×5 + 11×4 + 34×2 = 162
- D: 9×5 + 18×4 + 18×3 + 10×2 = 191
- E: 6×5 + 12×4 + 37×3 = 189
那么我们应该选 D 作为胜出者。
当然，波达计数法也有失效的时候。比如这种情况：
| 票数 | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 4 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 4 | 3 | 1 | 2 |
四人的得分分别为 29, 32, 30, 19，因此 B 应该当选——但回头一看，A 的票数是过半的！根据多数准则，A 理所当然地应该当选。因此，波达计数法无法永远遵循多数准则。
波达计数法甚至无法满足最自然的准则，似乎完全没有价值——尽管如此，专家们仍然认为，波达计数法是投票机制中最好的一种，因为它在绝大多数情况下得到的结果符合期望，也最能够反映社会的总体喜好。
针对 A 无法当选的问题，我们发现是因为那些把 A 排在最后的极端票对选举结果的影响太大了——能不能降低这种影响？办法是有的，那就是改变每个排名的分值。比如，第一名价值 1 分，第二名价值 1/2 分，第三名，1/3 分……这样，四人的分值就变成了 7.25, 6, 6, 3.67，A 成功当选。这样能最大限度减少极端票的影响。当然，反例仍然是能构造出来的，但那些就更加不可能发生了。绝大多数情况下，普通的波达计数法已经足够优秀了。
排序复选法（Instant run-off）
另一个比较自然的想法：既然没法一次选出最佳候选人，那至少可以每次淘汰掉最后的候选人，把问题化归成 n-1 个候选人的情况，直到只剩下两个候选人。这就是排序复选法的原理。仍举此例：
| 票数 | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 18 | 1 | 5 | 4 | 2 | 3 |
| 10 | 5 | 2 | 1 | 4 | 3 |
| 4 | 5 | 2 | 4 | 3 | 1 |
| 12 | 5 | 1 | 4 | 3 | 2 |
| 9 | 5 | 4 | 2 | 1 | 3 |
| 2 | 5 | 4 | 2 | 3 | 1 |
第一轮淘汰掉得票最少的 E（6 票），那些投他的人会转而去投 B（4 人）和 C（2 人）；第二轮淘汰掉倒数第二的 D（9 票），这 9 人的票数计入 C，此时 A, B, C 票数为 18, 16, 21；第三轮淘汰掉 B（16 票），16 人全部转投 C。最后 C 以 37:18 的优势胜出。
从这个例子中可以看出，排序复选法是最青睐那些中庸的候选人的——他们的票数不算少，可以苟活几轮；但也不算多，因为大多数人把他排在中间的位置。随着轮数的增加，他会逐渐积累票数，直到超过那些极端的候选人（比如 A）。
这种对中庸的青睐也会产生问题。构造一个例子，如果我们有以下投票：
| 票数 | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 7 | 1 | 2 | 3 |
| 8 | 3 | 1 | 2 |
| 10 | 2 | 3 | 1 |
| 4 | 1 | 3 | 2 |
此时稍加计算，发现 C 将胜出。但如果那 4 个投了 A>C>B 的人，把票改成了 C>A>B：
| 票数 | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 7 | 1 | 2 | 3 |
| 8 | 3 | 1 | 2 |
| 14 | 2 | 3 | 1 |
那么 A 被淘汰之后，B 得到了 15 票，胜过了 C 的 14 票！但是在选票上，作出的修改却是让 C 的排名上升。这意味着，C 没有被选上，因为他做得比原来更好了。这便是排序复选法的问题：由于它过度青睐中庸的候选人，导致如果一个候选人比原先更加优秀，反倒难以当选。在此，我们可以提出所谓的单调性准则（Monotonicity criterion）：
因此，可以得出结论：排序复选法不总是遵循单调性准则。
多数复选法（Majority run-off）
排序复选法在候选人较多时操作时间过长，因此有一种简化的方法为多数复选法。在这种制度下，只进行两轮比较：第一轮选出得票最高的两人，然后在这两人中投出优胜者。这样就省去了不断淘汰的过程。在原例中：
| 票数 | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 18 | 1 | 5 | 4 | 2 | 3 |
| 10 | 5 | 2 | 1 | 4 | 3 |
| 4 | 5 | 2 | 4 | 3 | 1 |
| 12 | 5 | 1 | 4 | 3 | 2 |
| 9 | 5 | 4 | 2 | 1 | 3 |
| 2 | 5 | 4 | 2 | 3 | 1 |
第一轮选出的前两名为 A（18 票）与 B（12 票）。接下来，所有投票给被淘汰的候选人的选民都会把选票投给 B（因为他们都把 A 排在最后），因此 B 当选。
多数复选法相比排序复选法，没有那么青睐中庸候选人，也不会选出极端候选人，因此许多新兴的民主政权选择此制度。
成对比较法（Pairwise comparison）
在以上四种方法中，我们分别投出了 4 个优胜者：
- 简单多数法：A；
- 波达计数法：D；
- 排序复选法：C；
- 多数复选法：B。
那么，究竟哪个才应该是真正的优胜者？其实，有可能这四个都不是。18 世纪法国的启蒙运动科学家马奎斯·孔多塞提出了所谓孔多塞准则（Condorcet criterion）：
孔多塞准则（Condorcet criterion）在一次选举中，如果将候选人 X 和其他任何一个候选人一对一竞争时，X 总是能获得更多的票数，那么 X 应该当选。 :::
这也是非常自然的想法——X 要比任何一个人都好，那他自然是最好的。但我们发现，如果遵循这一准则挑选优胜者：
| 票数 | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 18 | 1 | 5 | 4 | 2 | 3 |
| 10 | 5 | 2 | 1 | 4 | 3 |
| 4 | 5 | 2 | 4 | 3 | 1 |
| 12 | 5 | 1 | 4 | 3 | 2 |
| 9 | 5 | 4 | 2 | 1 | 3 |
| 2 | 5 | 4 | 2 | 3 | 1 |
那么 E 是唯一符合孔多塞准则的优胜者！如果 E 和另外四个候选人分别竞争：
- E-A：37-18；
- E-B：33-22；
- E-C：36-19；
- E-D：28-27.
E 总是能胜出。但是，他却无法在任何一种上面提到的方法中胜出。因此，这种类似循环赛的选举方法是目前唯一能符合孔多塞准则的方法。
但它也有其问题。在一次竞选中有三个候选人和两个选民，结果如下：
| 票数 | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 2 | 1 | 3 |
那么此时用成对比较法，A 与 B 应当同票；但如果一个选民把选票作了修改，交换了 A 和 C 的位置：
| 票数 | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 1 | 2 |
看起来，他仍然最支持 B，只交换了两个他本就不会选的人，但此时 B 就能够胜出了！因此，这次选举不符合无关项独立准则（Independent of irrelavant alternatives criterion）：
我们也很难拒绝这一准则。如果一个选民交换了 A 和 C，那不应该导致原本不当选的 B 能够当选——这不符合常识。但这仍在成对比较法中发生了。
至今为止，我们提出的所有选举方法，没有一个是完美符合所有看似显然的准则的。那么，有没有可能存在这样一种完美的选举制度，能够符合所有的准则？经济学家肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow）告诉我们，有——那就是独裁制度。
我们已经提出了如下准则：
- 大多数准则；
- 单调性准则；
- 孔多塞准则；
- 无关项独立准则。
阿罗把前三者弱化成了一个准则——一致性准则（Unanimity）：
一致性准则（Unanimity）如果所有人都认为 A>B，那么汇总出的社会偏好也应当认为 A>B。 :::
同时作出了一个要求：在民主选举中，不应该存在独裁者（Non-dictatorship）。也就是说，社会偏好不应仅取决于某个个体的偏好。
但是，他证明了如果要同时满足一致性准则和无关项独立准则，那就必将产生一个独裁者，他的决定将直接影响选举结果！如果有一个 3 个候选人的选举，具体的证明分为三步：
- 存在一个“关键选民”，能够决定是 A 还是 B 当选；
- 存在一个“关键选民”，能够决定是 B 还是 C 当选；
- 以上的关键选民是同一人。这个人的决定将直接影响 A, B, C 中谁能当选。
篇幅所限，无法完整地介绍阿罗定理的证明过程。放上维基百科的三张图：
这叫做阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem）：
不存在一种个人偏好汇总机制可以在保证一致性和无关项独立的情况下不产生独裁者。
许多人也把它表述成：不存在民主的选举制度。
至此，我们能否悲观地认定，民主必将是不可及的？实际上不必。且不说许多学者对阿罗的前提作出了弱化（尤其是无关项独立），并证明如果我们抛弃一些认识，仍然可以避免独裁者；虽然阿罗证明了绝对符合我们认识的民主不存在，但不代表我们就已经抵达了这个理论所框定的边界。就像卡诺热机从原理上否定了第二类永动机的可能，并不代表我们就不能对现有的热机效率作出改进——现有的选举制度远远称不上是民主的。回头看我们社会中最受全世界瞩目的，号称最先进的制度：
这样逐渐崩塌的制度，真的是民主的么？
可能远远称不上。