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（卑微的）圆周运动公式推导

*在符号表示中，我们将会区分向量和标量。斜体表示标量；粗体表示向量。

定义：每一个二维向量都能表示成一个矩阵：

m=[xy]\begin{aligned} \mathbf{m}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \end{aligned}

如果将向量 m\mathbf{m} 的起点置于平面直角坐标系的原点，那么它的终点即处在 (x,y)(x,y) 的位置。xx 和 yy 的值，实际上代表了 m\mathbf{m} 在 xx 轴和 yy 轴上的分量的权。

我们研究作匀速圆周运动的物体从 Pi\mathbf{P}_i 到 Pf\mathbf{P}_f 的加速度。作一个（奇怪的）要求——不使用导数，而只凭极限的思想解决问题（虽然实际上和导数只差一步之遥）。

首先，列出最基本的加速度公式：

a=lim⁡Δt→0ΔvΔt\begin{aligned} \mathbf{a}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\mathbf{v}}{\Delta t} \end{aligned}

讨论的语境，是时间变化无限小。但现在不必关心。第一步，是用向量矩阵表示出初速度和终速度。

vi=[vsin⁡θi−vcos⁡θi]vf=[vsin⁡θf−vcos⁡θf]\begin{aligned} \mathbf{v}_i&=\begin{bmatrix}v\sin\theta_i\\-v\cos\theta_i\end{bmatrix}\\ \mathbf{v}_f&=\begin{bmatrix}v\sin\theta_f\\-v\cos\theta_f\end{bmatrix} \end{aligned}

其中 vv 表示物体一直维持的速率，是标量。至于这样两个矩阵是如何得出的，是来自非常基础的几何学和三角学，只要略作几条垂线，再倒角即可，不再赘述。将 Δv=vf−vi\Delta\mathbf{v}=\mathbf{v}_f-\mathbf{v}_i 代入原公式：

a=lim⁡Δt→01Δt[v(sin⁡θf−sin⁡θi)v(cos⁡θi−cos⁡θf)]\begin{aligned} \mathbf{a}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{1}{\Delta t}\begin{bmatrix}v(\sin\theta_f-\sin\theta_i)\\v(\cos\theta_i-\cos\theta_f)\end{bmatrix} \end{aligned}

注意到矩阵中可以提取出一个 vv；更重要的是，为了消除棘手的 sin⁡(a)−sin⁡(b)\sin(a)-\sin(b) 这样的东西，使用和差化积公式：

sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2cos⁡α−cos⁡β=2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\begin{aligned} \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos\alpha-\cos\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \end{aligned}

（其实，当用上这一武器时，我们已经是在推导导数公式）

将原式变形成如下：

a=lim⁡Δt→0vΔt[2cos⁡θf+θi2sin⁡θf−θi22sin⁡θf+θi2sin⁡θf−θi2]\begin{aligned} \mathbf{a}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v}{\Delta t}\begin{bmatrix}2\cos\dfrac{\theta_f+\theta_i}{2}\sin\dfrac{\theta_f-\theta_i}{2}\\2\sin\dfrac{\theta_f+\theta_i}{2}\sin\dfrac{\theta_f-\theta_i}{2}\end{bmatrix} \end{aligned}

为了简便运算，我们令 Δθ=θf−θi\Delta\theta=\theta_f-\theta_i。

a=lim⁡Δt→0vΔt[2cos⁡(Δθ2+θi)sin⁡(Δθ2)2sin⁡(Δθ2+θi)sin⁡(Δθ2)]\begin{aligned} \mathbf{a}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v}{\Delta t}\begin{bmatrix}2\cos\left(\dfrac{\Delta\theta}{2}+\theta_i\right)\sin\left(\dfrac{\Delta\theta}{2}\right)\\2\sin\left(\dfrac{\Delta\theta}{2}+\theta_i\right)\sin\left(\dfrac{\Delta\theta}{2}\right)\end{bmatrix} \end{aligned}

注意到，在时间无限小的语境下，ΔθΔθ 同样趋近于 0。此时，有公式：

lim⁡Δθ→0sin⁡Δθ=Δθ\begin{aligned} \lim_{\Delta\theta\to 0}\sin\Delta\theta=\Delta\theta \end{aligned}

运用这一公式：

a=lim⁡Δt→0vΔt[2cos⁡(Δθ2+θi)Δθ22sin⁡(Δθ2+θi)Δθ2]\begin{aligned} \mathbf{a}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v}{\Delta t}\begin{bmatrix}2\cos\left(\dfrac{\Delta\theta}{2}+\theta_i\right)\dfrac{\Delta\theta}{2}\\2\sin\left(\dfrac{\Delta\theta}{2}+\theta_i\right)\dfrac{\Delta\theta}{2}\end{bmatrix} \end{aligned}

末尾的除以 22 和开头的系数 22 相抵消，剩下 ΔθΔθ，将其提取出来。

a=lim⁡Δt→0ΔθΔtv[cos⁡(Δθ2+θi)sin⁡(Δθ2+θi)]\begin{aligned} \mathbf{a}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\theta}{\Delta t}v\begin{bmatrix}\cos\left(\dfrac{\Delta\theta}{2}+\theta_i\right)\\\sin\left(\dfrac{\Delta\theta}{2}+\theta_i\right)\end{bmatrix} \end{aligned}

出现了喜闻乐见的无穷小相比的形式；同时，在矩阵中留下的 ΔθΔθ，我们也不需要它了，因为 ΔθΔθ 是 θθ 的高阶无穷小，将其抹去。令 ω=lim⁡Δt→0ΔθΔt\displaystyle\omega=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\theta}{\Delta t} 为角度的变化率，则原式的最终形态为：

a=ωv[cos⁡θisin⁡θi]\begin{aligned} \mathbf{a}=\omega v\begin{bmatrix}\cos\theta_i\\\sin\theta_i\end{bmatrix} \end{aligned}

作一处小小的修正——由于物体作顺时针运动，θiθ_i 要比 θfθ_f 大，此时的 ωω 是一个负值，显然不符合我们“角速度是正值”的直观感受。因此我们简单地将右侧取相反数：

a=ωv[−cos⁡θi−sin⁡θi]\begin{aligned} \mathbf{a}=\omega v\begin{bmatrix}-\cos\theta_i\\-\sin\theta_i\end{bmatrix} \end{aligned}

最后一个小小的惊喜：向量 [−cos⁡θi−sin⁡θi]\begin{bmatrix}-\cos\theta_i\\-\sin\theta_i\end{bmatrix} 其实是一个单位向量，它的长度为 11！而它所指的方向，在图上是：

如果起点在 Pi\mathbf{P}_i 的位置，就正是一条指向圆心的向量。得证加速度的方向指向圆心。

另一方面，消去单位向量后，

∥a∥=ωv\begin{aligned} \left\Vert\mathbf{a}\right\Vert=\omega v \end{aligned}

圆周运动的公式初见端倪。证明为何 v=ωrv=ωr 则非常简单——由于运动一周后，走过了 2π2π 的角度和 2πr2πr 的圆周长，易得在这段时间 tt 中，

{2π=ωt2πr=vt\begin{cases} 2\pi=\omega t\\ 2\pi r=vt \end{cases}

下式除以上式即可。再把 ω=vr\displaystyle \omega=\frac{v}{r} 代回原式，就得到了

a=v2r\begin{aligned} a=\frac{v^2}{r} \end{aligned}

写作此文，仅供测试公式编辑器，因此使用了更加繁琐的方法。如果会用向量求导，知道链式法则，直接求导岂不美哉。