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关于误差传递与导数运算的发现

这张图已经包含了所有我想表达的东西。如果你看得一头雾水，那么后面两节是为你准备的。如果你已经明白了它在表达什么，那你基本就已经读完了这篇文章，直接去第三节吧。

Δ(u±v)=Δu+ΔvΔ(uv)=Δu⋅v+u⋅ΔvΔ(uv)=Δu⋅v+u⋅Δvv2⟺(u±v)′=u′±v′(uv)′=u′v+uv′(uv)′=u′v−uv′v2\begin{aligned} \Delta(u\pm v)&=\Delta u+\Delta v\\ \Delta(uv)&=\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v\\ \Delta\left(\frac uv\right)&=\frac{\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v}{v^2} \end{aligned}\Longleftrightarrow\begin{aligned} (u\pm v)'&=u'\pm v'\\ (uv)'&=u'v+uv'\\ \left(\frac uv\right)'&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\ \end{aligned}

我们先看看，误差与导数分别是什么。

一、误差​

误差表示的是值的取值范围。在实验科学中，几乎不可能得到完全准确的数字，所以结论中往往含有误差。比如，库仑定律

F=k⋅Q1Q2rn\begin{aligned} F=k\cdot\frac{Q_1Q_2}{r^n} \end{aligned}

其中 nn 的值一般取 22，而最初库仑的实验表明，nn 大概是 2.00±0.042.00±0.04。这里的 ±0.04±0.04，便表示在 1.961.96 到 2.042.04 间，所有的实数都是符合实验结论的。

所以说，如果有 m=x±Δxm=x±\Delta x，则 m∈[x−Δx,x+Δx]m∈[x-\Delta x, x+\Delta x]。其中 xx 的部分叫作值，Δx\Delta x 叫作误差。

误差的计算原则是：如果要计算 f(a±Δa,b±Δb)f(a±\Delta a, b±\Delta b)，那么值就是 f(a,b)f(a,b)，而误差定义为值最大的可能值与最小可能值之差的一半。这样，值和误差之和便为最大值，之差便是最小值。

下面是误差的相关计算公式，可以看到上面的原则是如何起作用的：

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未做好心理准备请直接跳过公式

设 u=u±Δuu=u±\Delta u，v=v±Δvv=v±\Delta v，则

Δ(u±v)=(u±v)max⁡−(u±v)min⁡2=u+Δu±v+Δv−(u−Δu±v−Δv)2=Δu+ΔvΔ(uv)=(uv)max⁡−(uv)min⁡2=(u+Δu)(v+Δv)−(u−Δu)(v−Δv)2=Δu⋅v+u⋅ΔvΔ(uv)=(uv)max⁡−(uv)min⁡2=u+Δuv−Δv−u−Δuv+Δv2=2Δuv+2uΔv2(v+Δv)(v−Δv)=Δuv+uΔv(v)2−(Δv)2=Δu⋅v+u⋅Δvv2\begin{aligned} \Delta(u\pm v)&=\frac{(u\pm v)_{\max}-(u\pm v)_{\min}}{2}\\ &=\frac{u+\Delta u\pm v+\Delta v-(u-\Delta u\pm v-\Delta v)}{2}\\ &=\Delta u+\Delta v\\\\ \Delta(uv)&=\frac{(uv)_{\max}-(uv)_{\min}}{2}\\ &=\frac{(u+\Delta u)(v+\Delta v)-(u-\Delta u)(v-\Delta v)}{2}\\ &=\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v\\\\ \Delta\left(\frac uv\right)&=\frac{\left(\dfrac uv\right)_{\max}-\left(\dfrac uv\right)_{\min}}{2}\\ &=\frac{\dfrac{u+\Delta u}{v-\Delta v}-\dfrac{u-\Delta u}{v+\Delta v}}{2}\\ &=\frac{2\Delta uv+2u\Delta v}{2(v+\Delta v)(v-\Delta v)}\\ &=\frac{\Delta uv+u\Delta v}{(v)^2-(\Delta v)^2}\\ &=\frac{\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v}{v^2} \end{aligned}

（在除法公式中，我们认为误差的平方相较于值的平方来说可以忽略，所以得到了最后的式子。）

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总结来说，有如下公式：

Δ(u±v)=Δu+ΔvΔ(uv)=Δu⋅v+u⋅ΔvΔ(uv)=Δu⋅v+u⋅Δvv2\begin{aligned} \Delta(u\pm v)&=\Delta u+\Delta v\\ \Delta(uv)&=\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v\\ \Delta\left(\frac uv\right)&=\frac{\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v}{v^2} \end{aligned}

二、导数​

想象一根正常的连续曲线 y=f(x)y=f(x)。（用比较准确的语言说，该曲线处处可微处处可导。）设它定义域为 x∈[a,b]x∈[a,b]。

在曲线上有一点 A(m,f(m))A(m, f(m))，从 m=am=a 连续移动到 m=bm=b。过 AA 作该曲线的（AA 的某一单调邻域上的部分的）切线 y=kx+ny=kx+n。随着 mm 的变化，斜率 kk 也在变化，所以它显然是一个关于 mm 的函数 k=g(m)k=g(m)。此时，我们称 g(x)g(x) 为 f(x)f(x) 的导函数，写作 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x)。下面是一个可视化的例子：

其中的曲线便是 y=f(x)y=f(x)，而不断运动的直线的方程则是 y−f(m)=g(m)(x−m)y-f(m)=g(m)(x-m)。画出 k=g(m)k=g(m) 的图形，长这样：

如果要计算导数，相当于算出 g(m)g(m)，或者说算出 kk。

在物理中，有“微元法”这一概念，比如求出一个变速运动物体的瞬时速度，可以求在很短的一个时间中，物体的位移——此时，认为“该时间是如此之短，以至于速度来不及产生有效的变化”，或者说，作匀速直线运动。这个方法，和求导方法别无二致。

如果要计算 A(m,f(m))A(m,f(m)) 这一点上的导数，可以设它前进了很小很小的距离 Δm\Delta m 到了 A′(m+Δm,f(m+Δm))A'(m+\Delta m, f(m+\Delta m))。所以，过 AA 的该曲线的切线斜率 kk 便是

k=ΔyΔx=lim⁡Δm→0f(m+Δm)−f(m)Δm\begin{aligned} k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta m\to0}\frac{f(m+\Delta m)-f(m)}{\Delta m} \end{aligned}

其中 lim⁡\lim 表示 Δm\Delta m 无限趋近于 00，但不能达到。它只表示一种条件而没有真正的意义，操作它时尽可放心。

所以，lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} 即为 f′(x)f'(x) 的表达式。

现在就可以看一些导数的计算公式了。

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未做好心理准备请直接跳过公式

设有函数 u=u(x)u=u(x)，v=v(x)v=v(x)，则

(u±v)′=lim⁡Δx→0u(x+Δx)±v(x+Δx)−(u(x)±v(x))Δx=lim⁡Δx→0u(x+Δx)−u(x)Δx±lim⁡Δx→0v(x+Δx)−v(x)Δx=u′±v′(uv)′=lim⁡Δx→0u(x+Δx)⋅v(x+Δx)−u(x)⋅v(x)Δx=lim⁡Δx→0(u(x+Δx)⋅v(x+Δx)−u(x)⋅v(x+Δx)Δx=lim⁡Δx→0(+u(x)⋅v(x+Δx)−u(x)⋅v(x)Δx)=lim⁡Δx→0u(x+Δx)−u(x)Δx⋅v(x+Δx)lim⁡Δx→0+lim⁡Δx→0v(x+Δx)−v(x)Δx⋅u(x)=u′v+uv′(uv)′=lim⁡Δx→0u(x+Δx)v(x+Δx)−u(x)v(x)Δx=lim⁡Δx→0u(x+Δx)⋅v(x)−u(x)⋅v(x+Δx)v(x)⋅v(x+Δx)⋅Δx=lim⁡Δx→0u(x+Δx)⋅v(x)−u(x)⋅v(x)v(x)⋅v(x+Δx)⋅Δx−lim⁡Δx→0u(x)⋅v(x+Δx)−u(x)⋅v(x)v(x)⋅v(x+Δx)⋅Δx=lim⁡Δx→0u(x+Δx)−u(x)Δxv(x+Δx)−lim⁡Δx→0u(x)⋅v(x+Δx)−v(x)Δxv(x)⋅v(x+Δx)=u′v−uv′v2=u′v−uv′v2\begin{aligned} (u\pm v)'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)\pm v(x+\Delta x)-(u(x)\pm v(x))}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\pm\lim_{\Delta x\to 0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\\ &=u'\pm v'\\\\ (uv)'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x+\Delta x)}{\Delta x}\right.\\ &\phantom{=\lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{}{}\right.}\left.+\frac{u(x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{\Delta x}\right)\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\cdot v(x+\Delta x)\\&\phantom{\lim_{\Delta x\to 0}}+\lim_{\Delta x\to 0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\cdot u(x)\\ &=u'v+uv'\\\\ \left(\frac uv\right)'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\dfrac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\dfrac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+\Delta x)}{v(x)\cdot v(x+\Delta x)\cdot\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x)}{v(x)\cdot v(x+\Delta x)\cdot\Delta x}-\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{v(x)\cdot v(x+\Delta x)\cdot\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\dfrac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}{v(x+\Delta x)}-\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x)\cdot \dfrac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}{v(x)\cdot v(x+\Delta x)}\\ &=\frac{u'}{v}-\frac{uv'}{v^2}\\ &=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\ \end{aligned}

（其中乘除法的推导堪称“神来之笔”！）

预警解除

如果你看不懂，或者不想看，也没有关系，反正推导方法也不是吾辈能想得出来的。首先，你要知道，推导过程很高级；其次，你要记住几个公式：

(u±v)′=u′±v′(uv)′=u′v+uv′(uv)′=u′v−uv′v2\begin{aligned} (u\pm v)'&=u'\pm v'\\ (uv)'&=u'v+uv'\\ \left(\frac uv\right)'&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\ \end{aligned}

三、比较​

在之前的铺垫后，我们得到了下列两组公式：

误差传递公式：

Δ(u±v)=Δu+ΔvΔ(uv)=Δu⋅v+u⋅ΔvΔ(uv)=Δu⋅v+u⋅Δvv2\begin{aligned} \Delta(u\pm v)&=\Delta u+\Delta v\\ \Delta(uv)&=\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v\\ \Delta\left(\frac uv\right)&=\frac{\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v}{v^2} \end{aligned}

导数计算公式：

(u±v)′=u′±v′(uv)′=u′v+uv′(uv)′=u′v−uv′v2\begin{aligned} (u\pm v)'&=u'\pm v'\\ (uv)'&=u'v+uv'\\ \left(\frac uv\right)'&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\ \end{aligned}

可以看出，它们除了符号差异以外十分相像；为什么会有这种相似呢？

想一想，误差的定义除了 Δx=xmax⁡−xmin⁡2\displaystyle \Delta x=\frac{x_{\max}-x_{\min}}{2}，有没有更严谨的定义？是不是因为另一种基于导数和微分的定义导致了这些公式的相似？

以上都是值得思考研究的问题，留给各位自认头发还算浓密的学子。

（因为我并不能想出一个完美的解释）