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平面几何大宝鉴:祖暅原理的平面几何运用

祖暅在求球体积时,使用一个原理:“幂势既同,则积不容异”。“幂”是截面积,“势”是立体的高。意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积相等,则体积相等。更详细点说就是,界于两个平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理,国外则一般称之为卡瓦列利原理。

数学辞海-第六卷:中国科学技术出版社,2002

“两个同高的立体,如在等高处的截面积相等,则体积相等”,这也可以类比到二维中的图形面积问题:“两个同宽的图形,如在等宽处的截线段长相等,则面积相等”。或者说:两个图形夹在两平行线间,且与平行线相接,作这两条平行线间的第三条平行线 \ell ,如果对于所有的 \ell,它在这两个图形内的部分都相等,则这两个图形面积相等。

比如图中,如果对于每一条平行线(用虚线表示),都有 d1=d2d_1=d_2(也可能是若干线段长之和),那么这两个图形面积相等。

证明的方法,一是直觉上说,可以想象一个图形是由无数线段组成的,那么如果这些线段沿同一方向平移,平移出的新图形的面积就一定不会变化。

第二种,可以通过穷竭法,用无穷多的矩形来逼近它们的面积,也可以有同样的结论,即对于任意两个和左平行线距离相等,宽度相等的矩形,由于它们的长 d1d_1d2d_2 也相等,所以 S1=S2S_1=S_2。同理,在任何一个位置,矩形面积也是相等的。而这些矩形的宽趋向于无穷小时,它们的面积之和便相等。

第三种,通过积分,即因为同一横坐标的 d1d_1 都等于 d2d_2,所以有

f(x)dx=g(x)dx\begin{aligned} \int f(x)\,\mathrm{d}x=\int g(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned}

其中 f(x)f(x)g(x)g(x) 分别等于 d1d_1d2d_2xx 处的值。

可能在小学时,不少人学习过“三角形的等积变形”,即在两平行线间的三角形面积相等;而这也是此原理的一种特殊情况。

因此,我们可以用这个工具,来解决一些棘手的面积问题。比如:

(来源见水印)

好,看到题,立刻列式:

01(xx2)dx=13\begin{aligned} \int_0^1\left(\sqrt{x}-x^2\right)\,\mathrm{d}x=\frac 13 \end{aligned}

此 题 完 结

但是,如果不能使用定积分,或者考试时忘了积分公式呢?WFLA 数学社为我们提供了各种各样的做法,欢迎在这里欣赏:https://mp.weixin.qq.com/s/nZMraG-AuGxzogIa3W3lRQ(虽然显然实际只展示了一种)

在文中,采用的是直接用梯形逼近的方法;如果我们想要一种更通式化的方法,还可以先用“祖暅原理推广”,把它转化为一个关于 xx 轴对称的二维图形:

其中上、下两条曲线分别为 y=x2+xy=-x^2+xy=x2xy=x^2-x。至于为什么可以这么转化,是因为如果作 yy 轴的平行线,被下面一条曲线和 y=xy=x 所截的线段正好是 d(x)=xx2d(x)=x-x^2 的关系,而这个图形又是关于 y=xy=x 对称的。

而计算由两个抛物线围成的图形的面积,就会方便很多——比如用穷竭法,积分法,甚至是抛物线与直线围成的面积的公式,等等(该公式可能会在以后的某篇文章中作推导)。

当然,原作的思路也非常简洁;但它是建立在该图形的特殊性上的。而通过对图形作等积变形转换成熟悉图形的思路,则可以应用于任意图形。


还不仅如此,祖暅原理甚至可以应用于任意维度——无论是二维、三维,甚至更高维,都是适用的。而这个原理,竟在 1500 年前,便已由老祖宗提出,足见中华民族的智慧。同时,祖氏父子还利用此原理,成功计算出了球体体积公式,并用算筹这种极原始的工具做开方运算,把圆周率计算到了 3.1415926~3.1415927 的精度。所以,我们要继承先人的精神,更加努力地学习理科知识,继续为祖国理科事业的发展而奋斗。