平面几何大宝鉴:祖暅原理的平面几何运用
祖暅在求球体积时,使用一个原理:“幂势既同,则积不容异”。“幂”是截面积,“势”是立体的高。意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积相等,则体积相等。更详细点说就是,界于两个平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理,国外则一般称之为卡瓦列利原理。
数学辞海-第六卷:中国科学技术出版社,2002
“两个同高的立体,如在等高处的截面积相等,则体积相等”,这也可以类比到二维中的图形面积问题:“两个同宽的图形,如在等宽处的截线段长相等,则面积相等”。或者说:两个图形夹在两平行线间,且与平行线相接,作这两条平行线间的第三条平行线 ,如果对于所有的 ,它在这两个图形内的部分都相等,则这两个图形面积相等。
比如图中,如果对于每一条平行线(用虚线表示),都有 (也可能是若干线段长之和),那么这两个图形面积相等。
证明的方法,一是直觉上说,可以想象一个图形是由无数线段组成的,那么如果这些线段沿同一方向平移,平移出的新图形的面积就一定不会变化。
第二种,可以通过穷竭法,用无穷多的矩形来逼近它们的面积,也可以有同样的结论,即对于任意两个和左平行线距离相等,宽度相等的矩形,由于它们的长 和 也相等,所以 。同理,在任何一个位置,矩形面积也是相等的。而这些矩形的宽趋向于无穷小时,它们的面积之和便相等。
第三种,通过积分,即因为同一横坐标的 都等于 ,所以有
其中 , 分别等于 , 在 处的值。
可能在小学时,不少人学习过“三角形的等积变形”,即在两平行线间的三角形面积相等;而这也是此原理的一种特殊情况。
因此,我们可以用这个工具,来解决一些棘手的面积问题。比如:
好,看到题,立刻列式:
此 题 完 结
但是,如果不能使用定积分,或者考试时忘了积分公式呢?WFLA 数学社为我们提供了各种各样的做法,欢迎在这里欣赏:https://mp.weixin.qq.com/s/nZMraG-AuGxzogIa3W3lRQ(虽然显然实际只展示了一种)
在文中,采用的是直接用梯形逼近的方法;如果我们想要一种更通式化的方法,还可以先用“祖暅原理推广”,把它转化为一个关于 轴对称的二维图形:
其中上、下两条曲线分别为 和 。至于为什么可以这么转化,是因为如果作 轴的平行线,被下面一条曲线和 所截的线段正好是 的关系,而这个图形又是关于 对称的。
而计算由两个抛物线围成的图形的面积,就会方便很多——比如用穷竭法,积分法,甚至是抛物线与直线围成的面积的公式,等等(该公式可能会在以后的某篇文章中作推导)。
当然,原作的思路也非常简洁;但它是建立在该图形的特殊性上的。而通过对图形作等积变形转换成熟悉图形的思路,则可以应用于任意图形。
还不仅如此,祖暅原理甚至可以应用于任意维度——无论是二维、三维,甚至更高维,都是适用的。而这个原理,竟在 1500 年前,便已由老祖宗提出,足见中华民族的智慧。同时,祖氏父子还利用此原理,成功计算出了球体体积公式,并用算筹这种极原始的工具做开方运算,把圆周率计算到了 3.1415926~3.1415927 的精度。所以,我们要继承先人的精神,更加努力地学习理科知识,继续为祖国理科事业的发展而奋斗。