关于误差传递与导数运算的发现

首次发布于 2019/10/5。原文链接

这张图已经包含了所有我想表达的东西。如果你看得一头雾水，那么后面两节是为你准备的。如果你已经明白了它在表达什么，那你基本就已经读完了这篇文章，直接去第三节吧。

$$\begin{aligned} \Delta(u\pm v)&=\Delta u+\Delta v\\ \Delta(uv)&=\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v\\ \Delta\left(\frac uv\right)&=\frac{\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v}{v^2} \end{aligned}\Longleftrightarrow\begin{aligned} (u\pm v)'&=u'\pm v'\\ (uv)'&=u'v+uv'\\ \left(\frac uv\right)'&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\ \end{aligned}$$

我们先看看，误差与导数分别是什么。

一、误差

误差表示的是值的取值范围。在实验科学中，几乎不可能得到完全准确的数字，所以结论中往往含有误差。比如，库仑定律

$$\begin{aligned} F=k\cdot\frac{Q_1Q_2}{r^n} \end{aligned}$$

其中 $n$ 的值一般取 $2$，而最初库仑的实验表明，$n$ 大概是 $2.00±0.04$。这里的 $±0.04$，便表示在 $1.96$ 到 $2.04$ 间，所有的实数都是符合实验结论的。

所以说，如果有 $m=x±\Delta x$，则 $m∈[x-\Delta x, x+\Delta x]$。其中 $x$ 的部分叫作值，$\Delta x$ 叫作误差。

误差的计算原则是：如果要计算 $f(a±\Delta a, b±\Delta b)$，那么值就是 $f(a,b)$，而误差定义为值最大的可能值与最小可能值之差的一半。这样，值和误差之和便为最大值，之差便是最小值。

下面是误差的相关计算公式，可以看到上面的原则是如何起作用的：

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未做好心理准备请直接跳过公式

设 $u=u±\Delta u$，$v=v±\Delta v$，则

$$\begin{aligned} \Delta(u\pm v)&=\frac{(u\pm v)_{\max}-(u\pm v)_{\min}}{2}\\ &=\frac{u+\Delta u\pm v+\Delta v-(u-\Delta u\pm v-\Delta v)}{2}\\ &=\Delta u+\Delta v\\\\ \Delta(uv)&=\frac{(uv)_{\max}-(uv)_{\min}}{2}\\ &=\frac{(u+\Delta u)(v+\Delta v)-(u-\Delta u)(v-\Delta v)}{2}\\ &=\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v\\\\ \Delta\left(\frac uv\right)&=\frac{\left(\dfrac uv\right)_{\max}-\left(\dfrac uv\right)_{\min}}{2}\\ &=\frac{\dfrac{u+\Delta u}{v-\Delta v}-\dfrac{u-\Delta u}{v+\Delta v}}{2}\\ &=\frac{2\Delta uv+2u\Delta v}{2(v+\Delta v)(v-\Delta v)}\\ &=\frac{\Delta uv+u\Delta v}{(v)^2-(\Delta v)^2}\\ &=\frac{\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v}{v^2} \end{aligned}$$

（在除法公式中，我们认为误差的平方相较于值的平方来说可以忽略，所以得到了最后的式子。）

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总结来说，有如下公式：

$$\begin{aligned} \Delta(u\pm v)&=\Delta u+\Delta v\\ \Delta(uv)&=\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v\\ \Delta\left(\frac uv\right)&=\frac{\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v}{v^2} \end{aligned}$$

二、导数

想象一根正常的连续曲线 $y=f(x)$。（用比较准确的语言说，该曲线处处可微处处可导。）设它定义域为 $x∈[a,b]$。

在曲线上有一点 $A(m, f(m))$，从 $m=a$ 连续移动到 $m=b$。过 $A$ 作该曲线的（$A$ 的某一单调邻域上的部分的）切线 $y=kx+n$。随着 $m$ 的变化，斜率 $k$ 也在变化，所以它显然是一个关于 $m$ 的函数 $k=g(m)$。此时，我们称 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，写作 $g(x)=f'(x)$。下面是一个可视化的例子：

其中的曲线便是 $y=f(x)$，而不断运动的直线的方程则是 $y-f(m)=g(m)(x-m)$。画出 $k=g(m)$ 的图形，长这样：

如果要计算导数，相当于算出 $g(m)$，或者说算出 $k$。

在物理中，有“微元法”这一概念，比如求出一个变速运动物体的瞬时速度，可以求在很短的一个时间中，物体的位移——此时，认为“该时间是如此之短，以至于速度来不及产生有效的变化”，或者说，作匀速直线运动。这个方法，和求导方法别无二致。

如果要计算 $A(m,f(m))$ 这一点上的导数，可以设它前进了很小很小的距离 $\Delta m$ 到了 $A'(m+\Delta m, f(m+\Delta m))$。所以，过 $A$ 的该曲线的切线斜率 $k$ 便是

$$\begin{aligned} k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta m\to0}\frac{f(m+\Delta m)-f(m)}{\Delta m} \end{aligned}$$

其中 $\lim$ 表示 $\Delta m$ 无限趋近于 $0$，但不能达到。它只表示一种条件而没有真正的意义，操作它时尽可放心。

所以，$\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 即为 $f'(x)$ 的表达式。

现在就可以看一些导数的计算公式了。

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未做好心理准备请直接跳过公式

设有函数 $u=u(x)$，$v=v(x)$，则

$$\begin{aligned} (u\pm v)'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)\pm v(x+\Delta x)-(u(x)\pm v(x))}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\pm\lim_{\Delta x\to 0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\\ &=u'\pm v'\\\\ (uv)'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x+\Delta x)}{\Delta x}\right.\\ &\phantom{=\lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{}{}\right.}\left.+\frac{u(x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{\Delta x}\right)\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\cdot v(x+\Delta x)\\&\phantom{\lim_{\Delta x\to 0}}+\lim_{\Delta x\to 0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\cdot u(x)\\ &=u'v+uv'\\\\ \left(\frac uv\right)'&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\dfrac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\dfrac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+\Delta x)}{v(x)\cdot v(x+\Delta x)\cdot\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x+\Delta x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x)}{v(x)\cdot v(x+\Delta x)\cdot\Delta x}-\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x)\cdot v(x+\Delta x)-u(x)\cdot v(x)}{v(x)\cdot v(x+\Delta x)\cdot\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\dfrac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}}{v(x+\Delta x)}-\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x)\cdot \dfrac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}{v(x)\cdot v(x+\Delta x)}\\ &=\frac{u'}{v}-\frac{uv'}{v^2}\\ &=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\ \end{aligned}$$

（其中乘除法的推导堪称“神来之笔”！）

预警解除

如果你看不懂，或者不想看，也没有关系，反正推导方法也不是吾辈能想得出来的。首先，你要知道，推导过程很高级；其次，你要记住几个公式：

$$\begin{aligned} (u\pm v)'&=u'\pm v'\\ (uv)'&=u'v+uv'\\ \left(\frac uv\right)'&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\ \end{aligned}$$

三、比较

在之前的铺垫后，我们得到了下列两组公式：

误差传递公式：

$$\begin{aligned} \Delta(u\pm v)&=\Delta u+\Delta v\\ \Delta(uv)&=\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v\\ \Delta\left(\frac uv\right)&=\frac{\Delta u\cdot v+u\cdot\Delta v}{v^2} \end{aligned}$$

导数计算公式：

$$\begin{aligned} (u\pm v)'&=u'\pm v'\\ (uv)'&=u'v+uv'\\ \left(\frac uv\right)'&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\ \end{aligned}$$

可以看出，它们除了符号差异以外十分相像；为什么会有这种相似呢？

想一想，误差的定义除了 $\displaystyle \Delta x=\frac{x_{\max}-x_{\min}}{2}$，有没有更严谨的定义？是不是因为另一种基于导数和微分的定义导致了这些公式的相似？

以上都是值得思考研究的问题，留给各位自认头发还算浓密的学子。

（因为我并不能想出一个完美的解释）